Umberto Zannier e la ricerca nella Teoria dei Numeri

Zannier, teoria dei numeriStudente (1976/80) e perfezionando (1980/83) alla Normale di Pisa, dal 2004 Umberto Zannier è professore di Geometria della Classe di Scienze della Scuola Normale. In questo articolo problemi e interessi della Teoria dei Numeri.

di Umberto Zannier

Fin da giovanissimo ero attratto da tutta la Matematica, ma in particolar modo dai problemi aritmetici, quelli che riguardano i numeri interi. Colgo qui l’occasione per dire che proprio i temi d’ammissione alla Scuola mi avevano aperto a queste problematiche, peraltro totalmente assenti dagli aridi programmi liceali.

Particolarmente vicine ai miei interessi sono le “Equazioni Diofantee”, quelle da risolversi in numeri interi o razionali (ossia le usuali frazioni). Un esempio noto anche al grande pubblico è il celebre “Ultimo Teorema di Fermat”, dimostrato solo di recente (a più di 300 anni dalla formulazione): esso afferma che l’equazione x alla n + y alla n = z non ha soluzioni in numeri interi x,y,z diversi da zero, e ciò per ogni intero n maggiore di 2.

Quantunque sia ormai ben noto che esistono anche applicazioni pratiche della Teoria dei Numeri, tali questioni hanno natura per lo più speculativa. Se ne trovano tracce anche nell’antichità, e infatti la denominazione proviene da Diofanto di Alessandria, vissuto circa nel 300 d.C. Tali equazioni sono comunque già presenti sistematicamente nei “libri” di Euclide e anche in un periodo antecedente: l’immaginazione umana e’ sempre stata colpita dal fascino dei numeri.

La Teoria dei Numeri è tuttora argomento estremamente centrale nella ricerca internazionale, viste anche le sue importanti connessioni con altri rami della Matematica. Ad esempio la teoria delle Equazioni Diofantee ha una forte natura geometrica e profondi legami con quella disciplina, emersi soprattutto di recente: si è piano piano compreso che le soluzioni intere sono influenzate dalle soluzioni in numeri più generali, reali o complessi, delle quali appunto si occupa la geometria in senso classico.

Altri problemi della Teoria dei Numeri originano dai numeri primi, altri ancora dai numeri irrazionali e trascendenti (quelli che non si possono ottenere dagli interi con operazioni algebriche). Per citare un altro esempio celebre, l’impossibilità della “quadratura del cerchio”, antico problema greco, corrisponde alla natura trascendente del numero pi greco, compresa nel secolo XIX.

I numeri trascendenti sfuggono alla nostra intuizione, e i problemi al riguardo confinano con questioni di carattere filosofico; spesso non è possibile operare con essi se non ricorrendo ad approssimazioni. Per alcune classi di numeri però le tecniche moderne sono riuscite a dare criteri “effettivi” di calcolo. E’ poi notevole che questo contesto si colleghi a sua volta alle Equazioni Diofantee prima ricordate, soggetto apparentemente del tutto lontano.

In passato in Italia tutto ciò è stato purtroppo coltivato solo da un’esigua minoranza. Sono grato alla Normale per non essersi mai chiusa a questi aspetti, nonostante la “consuetudine”. In particolare, in collaborazione col Centro De Giorgi, nel 2005 abbiamo organizzato il periodo di incontri e seminari “Diophantine Geometry”, cui hanno partecipato diversi esperti di grande rilevanza internazionale. Dobbiamo in gran parte a Enrico Bombieri, che fu professore proprio alla Normale ed ha fatto parte del Comitato Scientifico dell’evento appena ricordato, una scuola italiana di Teoria dei Numeri con impatto internazionale.

Fu una grande fortuna per me incontrare Bombieri al mio ingresso in Normale, giusto un anno prima che egli si trasferisse all’Institute for Advanced Study di Princeton. Oggi in Italia si è creata appunto una certa tradizione, a Pisa ma anche in altre Università, con forti contatti all’estero. Ciò naturalmente consente ai giovani appassionati, e in particolare ai Normalisti, di poter assecondare la propria vocazione.

Per maggiori dettagli sulla ricerca di Umberto Zannier, seguono alcune proposte di Colloquio per gli allievi del III e IV anno.